A note on Stokes approximations to Leray solutions of the incompressible Navier–Stokes equations in Rn

In the early 1980s it was well established that Leray solutions of the unforced Navier–Stokes equations in Rn decay in energy norm for large t. With the works of T. Miyakawa, M. Schonbek and others it is now known that the energy decay rate cannot in general be any faster than t − (n+2)/4 and is typically much slower. In contrast, we show in this note that, given an arbitrary Leray solution u(·, t), the difference of any two Stokes approximations to the Navier–Stokes flow u(·, t) will always decay at least as fast as t − (n+2)/4, no matter how slow the decay of ku(·, t) kL 2 (Rn ) might be

Conditions for the existence of global solutions to doubly nonlinear advection-diffusion equations

Neste trabalho, consideramos um problema de valor inicial para uma equação de advecção-difusão duplamente não linear, e apresentamos um valor crítico de κ até o qual o problema de valor inicial tem solução global independente do dado inicial u0, e a partir do qual as soluçõess globais ainda podem existir, mas para dados iniciais u0 satisfazendo a determinadas condições. Para isso, supomos que a função f(x,t,u) no termo advectivo, escrito na forma divergente, satisfaz a certas condições a respeito de sua variação em Rn, e usamos também o decrescimento na norma L1(Rn) e um controle para a norma L∞(Rn) da solução u(·,t).In this work, we consider a initial-value problem for an doubly nonlinear advection-diffusion equation, and we present a critical value of κ up to wich the initial-value problem has global solution independent of the initial data u0, and from which global solutions may still exists, but from initial data u0 satisfying certain conditions. For this, we suppose that the function f(x,t,u) in the advection term, writted in the divergent form, satisfies certain conditions about your variation in Rn , and we also use the decrease of the norm L1(Rn) and an control for the norm L∞(Rn) of solution u(·,t)

Numerical simulations with the Galerkin least squares finite element method for the Burgers' equation on the real line

In this work we present an efficient Galerkin least squares finite element scheme to simulate the Burgers’ equation on the whole real line and subjected to initial conditions with compact support. The numerical simulations are performed by considering a sequence of auxiliary spatially dimensionless Dirichlet’s problems parameterized by its numerical support ˜K . Gaining advantage from the well-known convective-diffusive effects of the Burgers’ equation, computations start by choosing ˜K so it contains the support of the initial condition and, as solution diffuses out, ˜K is increased appropriately. By direct comparisons between numerical and analytic solutions and its asymptotic behavior, we conclude that the proposed scheme is accurate even for large times, and it can be applied to numerically investigate properties of this and similar equations on unbounded domains

Sobre alguns problemas de espalhamento e equações de evolução não lineares

Neste trabalho, são apresentados os aspectos essenciais da teoria de espalhamento inverso e suas aplicações ao estudo de equações de evolução não lineares. A teoria de espalhamento do operador de Schrõdinger para potenciais decaindo a limites definidos ao x + ± oo e considerada primeira com aplicações ao problema de valor inicial para a equação de Korteweg- de Vries. Segue uma discussão da teoria de espalhamento para sistemas AKNS, uma classe de problemas de autovalores direta ou indiretamente relacionada com a maior parte das equações de evolução não lineares solúveis pelo método de espalhamento inverso de interesse na prática . Uma equação não linear recentemente encontrada solúvel por esse método é discutida no Último capítulo em conexão com o problema de espalhamento de Shimizu- Wadati. Muitos tópicos importantes não são tratados aqui, incluindo o caso periódico da equação de Korteweg- de Vries, leis de conservação, formalismos Hamiltonianos, transformações de Bäcklund, comportamento assintótico das soluções ao t + co e teoria de perturbação.In this work, it is presented the essential aspects of the theory of the inverse scattering transform and its applications to the study of nonlinear evolution equations. The scattering theory of the Schródinger operator for either bump- or steplike potencials is considered first, and applications to the initial value problem for the Korteweg- de Vries equation are given. There follows a discussion of the scattering theory for AKNS systems, a class of spectral problems which is ultimately related to most of the interesting nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering method. A recently found integrable equation is discussed in the last chapter in' connection with the scattering problem of Shimizu- Wadati. Many important topics are not considered here, such as the periodic case for the Korteweg- de Vries equation, conservation lav/S, Hamiltonian formalisms, Bäcklund transforrnations, long-time asymptotic behavior of solutions , and perturbation theory

Sobre alguns problemas de espalhamento e equações de evolução não lineares

Neste trabalho, são apresentados os aspectos essenciais da teoria de espalhamento inverso e suas aplicações ao estudo de equações de evolução não lineares. A teoria de espalhamento do operador de Schrõdinger para potenciais decaindo a limites definidos ao x + ± oo e considerada primeira com aplicações ao problema de valor inicial para a equação de Korteweg- de Vries. Segue uma discussão da teoria de espalhamento para sistemas AKNS, uma classe de problemas de autovalores direta ou indiretamente relacionada com a maior parte das equações de evolução não lineares solúveis pelo método de espalhamento inverso de interesse na prática . Uma equação não linear recentemente encontrada solúvel por esse método é discutida no Último capítulo em conexão com o problema de espalhamento de Shimizu- Wadati. Muitos tópicos importantes não são tratados aqui, incluindo o caso periódico da equação de Korteweg- de Vries, leis de conservação, formalismos Hamiltonianos, transformações de Bäcklund, comportamento assintótico das soluções ao t + co e teoria de perturbação.In this work, it is presented the essential aspects of the theory of the inverse scattering transform and its applications to the study of nonlinear evolution equations. The scattering theory of the Schródinger operator for either bump- or steplike potencials is considered first, and applications to the initial value problem for the Korteweg- de Vries equation are given. There follows a discussion of the scattering theory for AKNS systems, a class of spectral problems which is ultimately related to most of the interesting nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering method. A recently found integrable equation is discussed in the last chapter in' connection with the scattering problem of Shimizu- Wadati. Many important topics are not considered here, such as the periodic case for the Korteweg- de Vries equation, conservation lav/S, Hamiltonian formalisms, Bäcklund transforrnations, long-time asymptotic behavior of solutions , and perturbation theory

The gravitation two-stream instability in a 2-d phase space

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A two-sided method for nonlinear equations with cubic convergence

A two-sided method for finding a zero of 'a real-valued function on a given interval is presented and its convergence features are analysed, This method combines ih a simple way the well known schemes of Newton Raphson and Regula Falsi to produce two sequences of approximations to the root of the equation. For simple roots this convergence turns out to be of third order, and under more restrictive conditions it is also monotonic. Though oriented toward interval methods, no use of interval arithmetic is made.É apresentado um método tipo intervalar para cálculo de raizes reais de equações não lineares, baseado nos métodos de Newton-Raphson e Regula Falsi, gerando duas seqüências de aproximações que convergem para a raiz da equação sem o uso da aritmética intervalar. Para raizes simples a ordem de convergência é cúbica e com condições mais restritivas a convergência é monotônica